凱利方程式II－蛛網

<<凱利方程式II>>

模擬損益

凱利方程式保證兩件事情，第一、你不會輸光，因為凱利方程式使用資金比例下注法，你有可能輸到剩下一些渣，但絕不可能輸光，當然在現實生活中，這些渣也許不足以進行下一次的賭注，不過以理論而言，還是有殘餘資金存在。第二、你進行的是最有效率的資金運用，效率意謂著你追求的是最大報酬率，不過相對的，你也承受著很大的風險，這部分也是凱利方程式經常被反對者攻擊的地方。

假設有一枚硬幣，有56%的機會出現正面，44%的機會出現反面，這是一個有利的賭局，適用於凱利方程式。以凱利方程式計算出來的下注比例是12%。以下這張圖，我們模擬三種下注方式，起始資金假設為100元，賭局進行1000次。

A. 凱利方程式：每次都把總資金(包含贏的錢)的12%投入。

B. 固定比例：每次都下注起始資金的12%，也就是12元。

C. 加倍下注法：也就是一般所稱的必勝法，第一次下注12元，贏了就繼續下12元，輸了就加倍前一次的賭金：12元、24元、48元...。

這張圖是用隨機數列(控制勝率在56%)跑出來的結果，當然不是每次都長這個樣子，不過確實有很多次是類似的情況，我挑出一個最具代表性的圖向大家說明。

其中加倍法一開始表現十分突出，但是在接近尾聲的時候卻瞬間崩盤，這很符合這種下注法的特性，在沒有意外的時候，獲利很穩定的上升，不過一旦遭受連續虧損，就以驚人的速度敗掉所有家產，在其他次的模擬當中，這種下注法經常在一半左右就被踢出賭局。而固定比例的下注法可以保證獲利，因為我們有較具優勢的機率，所以這種下注法的獲利是很穩定的，不過並無法帶給我們巨額的獲利。接下來看凱利方程式的獲利狀況，大家可以看出來他的曲線震盪的很厲害，在前半段幾乎沒有獲利，表現不如其他兩種方式，但是在約700次交易之後，獲利開始激增，衝到45倍左右的獲利，但很快的又幾乎跌回原位，到了900次後卻又再度衝向更高峰。最後凱利方程式得到約60倍的驚人報酬率，遠遠甩開其他兩種方式。

由此可以看出，凱利方程式確實為我們帶來豐厚的報酬，但這個報酬率穩定嗎？其實並不盡然，以此圖為例，一度我們以為即將一飛衝天(700次左右)，但卻在短期間被打回原形，之後雖然又衝了上去，但誰能保證如果再跑個200次，會不會又把錢都吐出來了呢？其實任何下注方式，或說是投資方式都一樣，我們都在平衡報酬率和承受的風險。凱利方程式服從一個簡單法則，在連續下注的過程中，你的總財產變成一半的機率是二分之一，財產變成三分之一的機率也剛好是三分之一，這是我們要面對的風險，其實還蠻驚人的，不是每個人都擁有強健的心臟。

有一種方法可以讓情況不用這麼驚心動魄，可以調整凱利方程式計算出來的投資比例，繼續上面的例子，凱利、凱利0.5和凱利2這三條線分別代表原本的凱利方程式下注模式(12%資金)，一半的凱利(6%資金)，以及兩倍凱利(24%資金)。

這張圖是代表性的例子，凱利0.5的線比凱利線平緩許多，避免掉許多驚人的虧損，但卻犧牲了獲利，而凱利2在一開始表現最為突出，左側有一個小山峰就是他，但他承受了過大的風險，在這次模擬中早早就躺平了。根據研究，使用凱利準則所計算出來的投資比例是報酬率最高的點，小於這個比例，報酬率降低，好處是承受風險也隨之降低，這是可以考慮的，事實上許多的投資者都是使用0至1倍的凱利方程式進行投資；而大於這個比例，不但報酬率下降，還必須承受更大的風險，理性的投資者不該這樣作。

金融市場的應用

愛德華索普，也就是前一篇文章中，進行二十一點巡迴賭局並且大殺四方的人。他退出賭場之後，創立了一個避險基金：普林斯頓－新港基金。此基金從1969年成立以來，一直到1988年被一連串的法律訴訟搞到關門為止，基金淨值成長了14.78倍，平均的年度稅後報酬率是15.1%，同期間的SP500指數的報酬率是8.8%左右。

索普是凱利方程式的忠實擁護者，無論他抓住任何套利機會，甚至取得內線，跟黑道掛勾，只要他得到優於平均的機率，就會用凱利準則進行投資，再藉由分散風險的方式，平滑掉凱利方程式的報酬曲線，使得基金的報酬率是一個平緩向上的曲線，波動率甚至低於SP500。

平均每年以6%的差距擊敗市場，並且維持穩定的報酬率，普林斯頓－新港被稱為史上第一個常勝軍。

這一小節我們來討論：凱利方程式如何應用在金融市場。也許看完這篇，回家你就可以拿出私房錢來賭上一賭，或成立一個以你的綽號命名的「大寶基金」之類。請大家回憶一下，凱利方程式的公式是這樣：

下注比例 = 收益率 / 賠率公式(1)

收益率 = 期望收益 / 本金公式(2)

[步驟一：建立你的信念]

這個部分就像二十一點的算牌法一樣，是你獨一無二的武器，凱利方程式是一套資金管理法，前提是你必須建立正確的信念。在此我們隨意舉例，真的很隨意，請不要未經檢驗就拿去投資。以期貨市場作多策略為例：『假設台指期的5日線穿過20日線時，台指期有60%的機率上漲10%，40%的機率下跌10%。』這一條就是你的信念，請相信他會成真。

[步驟二：計算投資比例]

我們看一下公式(1)，期貨市場基本上是一賠一的交易，這是忽略手續費的狀況，如果加入手續費，賠率會略微下降。我們先假設賠率為一，因此公式(1)的下注比例就等於收益率。公式(2)教我們如何計算收益率，假設下注100元，根據你的信念，有60%的機率獲得110元，有40%的機率拿回90元，因此期望收益為 0.6*110+0.4*90-100=2。再除上分母也就是投資本金為100元，得到收益率為2%，帶入公式(1)，賠率為0.1(下100元，得到10元或賠掉10元)，我們得到『每次應該投入20%的總資金』這個結論。

[步驟三：進場操作]

觀察每日的期貨走勢，每當5日線超過20日線的時候，便投入總資金的20%進場多單，接下來無論價格漲到10%或是價格跌了10%便出場，如果你的信念是正確的，有60%的機率會賺錢，40%的機率賠錢。重複這套操作方式，你會得到一條劇烈震盪的損益圖。運氣好的話你會獲得前所未有的財富，運氣不好的話，回想我說過的話：「請不要未經檢驗就拿去投資」。