貝氏定理三部曲-三門奇謀

        本來上期結尾有說本期要講抽樣的議題,但今天我打開word突然毫無靈感,我一個字都寫不出來,眼看本期哈拉電子報就要瀕臨停刊了,但這是公司要的電子報,我哪來的guts讓他停刊?如果我可以決定停不停刊,早在陳水扁時代就停了。所以,既然抽樣寫不下去,我決定把貝氏定理寫成三部曲,這集要討論一個經典的題目-三道門。雖然我好像是迫於無奈才寫這個題目,但事實上也不全然'如此,照理說提到貝氏的文章,幾乎都會提到三道門的問題,我這樣做也是讓貝氏系列更加完整。結果這段寫了一堆,交給公司的版本還是得刪掉,所以現在等於還沒開始。

 
       這圖...

三道門

在一個益智節目中,主角過關斬將得到冠軍,到最後領獎的時刻了,舞台上出現三道門,主持人告訴他說:「這三道門後面,其中有一道背後是一輛寶馬跑車,而另外兩道則是保鮮膜一盒,你選中什麼就可以帶走什麼,今晚你要哪道門,都機?」主角經過一番天人交戰後,選擇了其中一道門,主持人看了看,打開了另外兩道門的其中一道,裡面是保鮮盒,於是現場只剩下兩道門,其中一道是主角原本選的,另一道是還沒打開的。主持人宣布,你有一次機會改變你的決定,問題來了,要不要換呢?

題目就是這樣,我曾經在電視上看到徐乃麟表演過類似的橋段,好像也是某個至尊什麼的節目,有很多盒子可以選,然後來賓選了一個後,徐乃麟就在那邊自high,一直問要不要換,那時候我還沒有看過這個題目,所以我完全不知道他在high什麼,由於他平常最擅長的就是把場子弄得很冷,所以我以為他只是持續他的風格,但今天想想,搞不好我錯怪乃哥了,他其實有念過貝氏定理。

        回到這個題目,到底換不換哪個有利,我想有百分之八十的人會認為根本沒差,反正現在剩兩道門,其中一道門有車,所以不管換不換我的機率都是二分之一,這是很直覺的想法,會這樣思考的人並沒有錯,但你們的答案是錯的,結論是換比較有利,老實說這蠻令人困惑的,可以說想破頭也很難有一個簡單的解釋,大部分都得列出數學式,用貝氏定理來證明,有的人還畫樹狀圖,還做實驗等等。不過,我最近在網路上看到一個絕妙的說法,應該是最棒的解釋了,這最後再講,現在我們還是得先用貝氏定理加上數學式來談他。

貝式定理

        因為這道式子必考,所以我必須不厭其煩地再列一次:

P(A|B):在B事件已經發生的情況下,A事件發生的機率

P(B|A):在A事件已經發生的情況下,B事件發生的機率

P(A):沒有任何前提下,A發生的機率

P(B):沒有任何前提下,B發生的機率

貝氏定理

 

 

 

        眼尖的讀者也許會發現,這跟前兩集的式子似乎不太一樣,沒錯,那時候我寫的是P(A|B) 正比於 P(A) × P(B|A),而在這裡多了一項分母P(B),事實上這邊列出來的是完整版,之前列的是精簡版,而兩者的精神是一樣的。

        你看這式子這麼簡單,但他造就了多少奇蹟,凡偉大的公式都是簡潔的,像相對論:E=MC2,偉大嗎?偉大。簡潔嗎?簡潔。看得懂嗎?看不懂。但貝式定理沒有這個問題,你可以輕易搞懂這個公式,甚至你只要學到他的精神,整個人都會散發出智慧的光芒,總之這個式子麻煩大家記起來。再說我們貝氏定理都已經進行到三部曲了,連這式子還沒搞懂的話,簡直就像哈比人走到魔多,卻發現魔戒忘在家一樣荒謬。

回到三道門

        我們要怎麼用貝氏定理解釋三道門的問題呢?請看上面的公式,這個問題裡,誰是A事件,誰是B事件,安排他們誰是誰是最困難的部分,把這些設好後,問題就迎刃而解了。請看示意圖:

A事件:主持人打開3號保鮮膜門。

B事件:車子在1號門。

C事件:車子在2號門。

        第一種情況是「不換猜中」,代表車子在1號門,而前提是主持人開了3號保鮮膜門,以機率表示就是P(B|A)。另一種情況是「換了猜中」,代表車子在2號門,以機率表示為P(C|A)。所以,現在我們要比較這兩個機率哪個比較大,請帶入必考的式子裡:

第一種情況:不換猜中

P(B)的部分很簡單,在沒有任何前提下,車子在1號門的機率當然是1/3。而P(A|B)這一項,用中文描述是:「如果車子在1號門,主持人打開3號保鮮膜門的機率。」請想像一下你是主持人,現在車子在1號門,來賓也選了1號門,你的目的是開一道保鮮膜門給大家看,所以這時候你有兩個選擇,可以開2號或是3號,所以你開3號的機率是1/2。分母是解釋起來最複雜的P(A),我們等下再說。

第二種情況:換了猜中

        P(C)還是一樣簡單,在沒有任何前提之下,車子在2號門的機率就是1/3P(A|C)項才是關鍵,用中文描述是:「如果車子在2號門,主持人打開3號保鮮膜門的機率。」如果你是主持人,來賓選了1號門,車子在2號門,現在要打開一道門,你不可能把有車子的門打開,所以唯一的選擇只剩3號門。因此,這項的機率和之前不一樣,因為你只有一個選擇,所以機率是1

講到這裡,我們可以開始解釋P(A)了,P(A)用中文描述是:「沒有任何前提下,主持人打開3號保鮮膜門的機率。」沒有任何前提下,代表你不知道車子在哪裡,所以車子在1號門或是在2號門都有可能,而P(A)就是這兩種機率的結合。用數學式來表示如下:

P(A)=P(B)×P(A|B)+P(C)×P(A|C)

        請往前看個幾行,這些項我們都算過了,請把他們代入,得到:

P(A)= 1/3×1/2+1/3×1 = 1/2

最後到底誰的機率比較大?

第一種情況:不換猜中

第二種情況:換了猜中

        答案出來了,換比較有利,有利的程度是不換的兩倍之多。所以以後你去參加至尊什麼的節目,當乃哥又來問你換不換的時候,記得換給他看。

如果你所有的數學式都不想看,至少可以看這一段

        前面我們花了很大篇幅推導公式,我必須承認,如果你並非有心人士,這些公式你兩天以內就會忘光,也許過了好幾年,在一場派對上有人提起三道門的益智問答,到時候你會覺得似乎聽過,但是又支支嗚嗚講不出個所以然來,失去表現機會讓你悔不當初。所以,這段我要提供一個快速解決三道門問題的解法。

        我們把畫面切到主持人已經打開一道門了,你即將決定要不要換的那一瞬間。現在想想看,如果今天你不換並得獎了,是不是代表你一開始就選中正確的門,機率是1/3吧,而另一方面,如果你換了門然後得獎,代表你最一開始選的門是錯的,而選錯門的機率是2/3,所以換門中獎的機率比較大,就這樣簡單解決了問題,我個人對發明這個解釋的人非常佩服。

        到這裡貝氏三部曲終於告一段落,關於下個月要寫什麼,我已經完全迷失了,希望在接下來一個月的夜晚,有人會託夢給我靈感。

延伸閱讀
貝氏首部曲-以貝氏定理分析搭訕男人的畜生心理
貝氏二部曲-以貝氏定理分析搭訕男人之實證研究

mmadcity 發表在 痞客邦 留言(2) 人氣()